Saiba mais sobre a rotação na transformação

Na vida cotidiana, muitas vezes devemos encontrar objetos que se movem e giram, como ponteiros de relógio ou ventiladores. Em matemática, especialmente em materiais de transformação, esse movimento de rotação de objetos é chamado de rotação.

Reportando da Wikipedia, rotação é a rotação de um objeto em um eixo fixo, por exemplo a rotação de um pião e a rotação da terra em seu eixo/eixo. A rotação em si é declarada positiva se for girada no sentido anti-horário, enquanto negativa se for girada no sentido horário.

Existem 2 conceitos de rotação que você precisa saber, a saber, rotação em torno do ponto central 0 (0,0) e em torno do ponto P(a,b).

Rotação sobre o ponto central 0 (0,0)

A rotação do ponto em torno do ponto central 0 (0,0) por é denotada por R_(0,α).

• Se o ponto A(x,y) for girado no sentido anti-horário, então a imagem do ponto formado pode ser determinada pela seguinte equação:

x’ = x cos – y sen

y’ = x sen + y cos

A forma da matriz de transformação da rotação do ponto A(x,y) em torno do ponto central 0(0,0) no sentido anti-horário é

(Leia também: Reflexão como um tipo de transformação)

• Se o ponto A(x,y) for girado no sentido horário, então a imagem do ponto formado pode ser determinada pela seguinte equação:

x’ = x cos + y sen

y’ = x sen + y cos

A forma da matriz de transformação da rotação do ponto A(x,y) em torno do ponto central 0(0,0) no sentido anti-horário é

Exemplo :

Se o ponto Z (-5,1) for manipulado com o ponto 0(0,0) e o ângulo for 90⁰ anti-horário, qual é a imagem?

Solução:

Então a imagem do ponto Z é (-1, -5)

Rotação em torno do ponto P(a,b)

A rotação do ponto em torno do ponto P(a,b) é denotada por R_(P,α). Se o ponto A(x,y) for girado então a imagem do ponto formado pode ser determinada pela seguinte equação:

x’ = (x –α) cos – (y – b) sen +

y’ = (x – ) sen + (y – b) cos + b

Exemplo :

Se o ponto Z (-5,1) for girado em torno do centro de P(1,2) e o ângulo for 90°, a imagem será:

solução:

Ponto Z(-5, 1) = A(x,y)

Centro P(1, 2) = P(a,b)

x’ = (-5 -1) cos 90° – (1-2) sen 90° + 1

= 0 + 1 + 1 = 2

y’ = (-5 -1) sen 90° + (1 – 2) cos 90° + 2

= -6 + 0 + 2 = -4

Então a imagem do ponto Z ou Z’ é (2, -4).